| 已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”． （1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”． |
（1）（i） y=sinx+cosx是区间(0，
)上的“偏增函数”．π 4
记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在(0，
)上单调递增，f2（x）=cosx在(0，π 4
)上单调递减，π 4
且f2（x）=cosx∈（
，1）⊆[0，+∞），2 2
又y=f(x)=sinx+cosx=
sin(x+2
)在(0，π 4
)上单调递增，π 4
故y=sinx+cosx是区间(0，
)上的“偏增函数”．π 4
（ii）证明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=
sin(x-2
)+cosx，π 4
记f1(x)=
sin(x-2
)，f2(x)=cosx，π 4
显然f1(x)=
sin(x-2
)在(0，π 4
)上单调递增，f2（x）=cosx在(0，π 4
)上单调递减，π 4
且f2（x）=cosx∈（
，1）⊆[0，+∞），2 2
又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在(0，
)上单调递增，π 4
故y=sinx是区间(0，
)上的“偏增函数”． π 4
（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）⊆[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x-c，f2（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）⊆[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f1（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．