问题
解答题
| 如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2， （1）求证：x1+x2=-p，x1•x2=q； （2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （3）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求
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答案
（1）证法1：∵x2+px+q=0，
∴x1=
，x2=
-pp2-4q 2
．-
-pp2-4q 2
∴x1+x2=
+
-pp2-4q 2
=-p，-
-pp2-4q 2
∴x1x2=
×
-pp2-4q 2
=q．-
-pp2-4q 2
证法2：∵x2+px+q=0的两根为x1，x2．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x1+x2=-p，x1x2=q．
（2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1•x2=n，且由已知所求方程的两根为
、1 x1
．1 x2
∴
+1 x1
=1 x2
=x1+x2 x1•x2
．-m n
•1 x1
=1 x2
=1 x1•x2
，1 n
∴所求方程为x2-
x+-m n
=0，即nx2+mx+1=0（n≠0）；1 n
（3）∵a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是方程x2-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴
+a b
=b a
=(a+b)2-2ab ab
-2=(a+b)2 ab
-2=-47．152 -5