问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立． （2）若数列{an}满足a1=
（3）在（2）的条件下，若cn=an•an+1•bn+1（n∈N+），证明：c1+c2+c3+…cn＜
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答案
（1）∵x≥1得f（x）-x=
-x=2x x+1
=2x-x2-x x+1
≤0，-x(x-1) x+1
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a1=
，an+1=f（an），bn=2 3
-1，n∈N+∴an+1=1 an
得2an an+1
=1 an+1
+1 2 1 2an
∴a1=
，an+1=f（an），bn=2 3
-1，n∈N+1 an
∴
=bn+1 bn
=
-11 an+1
-11 an
=
+1 2
-11 2an
-11 an
=
-1 2an 1 2
-11 an
（n∈N+）1 2
又b1=
-1=1 a1
∴{bn}是首项为1 2
，公比为1 2
的等比数列，其通项公式为bn=1 2 1 2n
又a1=
，an+1=f（an），bn=2 3
-1，n∈N+1 an
∴an=
=1 bn+1
=1
+11 2n
（n∈N+）2n 2n+1
（3）cn=an•an+1•bn+1=
×2n 2n+1
×2n+1 2n+1+1
=1 2n+1
×2n 2n+1
=1 2n+1+1
-1 2n+1 1 2n+1+1
∴c1+c2+c3+…+cn=（
-1 21+1
）+（1 22+1
-1 22+1
）+…+（1 23+1
-1 2n+1
）=1 2n+1+1
-1 3
＜1 2n+1+1 1 3