问题
解答题
已知α∈(0,
(1)求函数f(x)的奇偶性; (2)是否存在常数α,使得对任意实数x,f(x)=f(
|
答案
解法一:(1)定义域是x∈R,
∵f(-x)=sin2(-x-α)+sin2(-x+α)-sin2(-x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(2)∵f(x)=f(
π |
2 |
移项得:cos(2x-2α)+cos(2x+2α)-cos2x=0,
展开得:cos2x(2cos2α-1)=0,
对于任意实数x上式恒成立,只有cos2α=
1 |
2 |
∵0<2α<π,∴α=
π |
6 |
解法二:f(x)=
1-cos(2x+2α) |
2 |
1-cos(2x-2α) |
2 |
1-cos2x |
2 |
1-cos2x(2cos2α-1) |
2 |
(1)定义域是x∈R,
∵f(-x)=
1-cos(-2x)(2cos2α-1) |
2 |
1-cos2x(2cos2α-1) |
2 |
∴该函数在定义域内是偶函数.
(2)由f(x)=f(
π |
2 |
∴
1-cos2x(2cos2α-1) |
2 |
1-cos2(
| ||
2 |
∴
1-cos2x(2cos2α-1) |
2 |
1+cos2x(2cos2α-1) |
2 |
化简可得:cos2x(2cos2α-1)=0对于任意实数x上式恒成立,
只有cos2α=
1 |
2 |
∵0<2α<π,∴α=
π |
6 |