问题
解答题
| 已知数列{an}，首项a 1=3且2a n=S n•S n-1 （n≥2）． （1）求证：{
（2）求{a n }的通项公式； （3）数列{an}中是否存在自然数k0，使得当自然数k≥k0时使不等式ak＞ak+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由． |
答案
（1）．由已知当n≥2时2an=Sn•Sn-1得：2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1（n≥2）⇒
-1 Sn
= -1 Sn-1
（n≥2）⇒{1 2
}是以1 Sn
=1 S1
=1 a1
为首项，公差d=-1 3
的等差数列．1 2
（2）．∵
=1 Sn
+(n-1)d=1 S1
+(n-1)(-1 3
)=1 2
，Sn=5-3n 6
(n≥ 2)6 5-3n
从而an=
Sn•Sn-1=1 2
，18 (3n-5)(3n-8)
∴an=
(n≥2)3 (n=1) 18 (3n-5)(3n-8)
（3）.令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得
＜k＜2 3
或k＞5 3
．故只需取k=3，则对8 3 大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.