问题
解答题
已知函数f(x)=log5
(1)求f(x)的定义域. (2)证明f(x)为奇函数. (3)判断f(x)的单调性并证明. (4)解不等式f(x)<f(1-x) |
答案
(1)∵
>0,即-1<x<1∴f(x)=log51+x 1-x
的定义域为(-1,1)(3分)1+x 1-x
(2)f(x)=log5
∵的定义域为(-1,1),在(-1,1)上任取一个自变量x1+x 1-x
则f(-x)=log5
=-log51-x 1+x
=-f(x)1+x 1-x
∴f(x)为奇函数.(6分)
(3)在区间(-1,1)上任取x1,x2∴-1<x1<x2<1(17分)f(x1)-f(x2)=log5
-log51+x1 1-x1
=log5(1+x2 1-x2
.1+x1 1+x2
)(9分)1-x2 1-x1
又0<1+x1<1+x2&,0<1-x2<1-x1
∴0<
<1&,0<1+x1 1+x2
<1,即0<1-x2 1-x1
.1+x1 1+x2
<1(11分)1-x2 1-x1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)为(-1,1)上的增函数(12分)
(4)∵f(x)为(-1,1)上的增函数∴-1<x<1-x<1
解得0<x<
(14分)1 2