问题 解答题
已知函数f(x)=log5
1+x
1-x

(1)求f(x)的定义域.
(2)证明f(x)为奇函数.
(3)判断f(x)的单调性并证明.
(4)解不等式f(x)<f(1-x)
答案

(1)∵

1+x
1-x
>0,即-1<x<1∴f(x)=log5
1+x
1-x
的定义域为(-1,1)(3分)

(2)f(x)=log5

1+x
1-x
∵的定义域为(-1,1),在(-1,1)上任取一个自变量x

f(-x)=log5

1-x
1+x
=-log5
1+x
1-x
=-f(x)

∴f(x)为奇函数.(6分)

(3)在区间(-1,1)上任取x1,x2∴-1<x1<x2<1(17分)f(x1)-f(x2)=log5

1+x1
1-x1
-log5
1+x2
1-x2
=log5(
1+x1
1+x2
.
1-x2
1-x1
)(9分)

又0<1+x1<1+x2&,0<1-x2<1-x1

0<

1+x1
1+x2
<1&,0<
1-x2
1-x1
<1,即0<
1+x1
1+x2
.
1-x2
1-x1
<1(11分)

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)为(-1,1)上的增函数(12分)

(4)∵f(x)为(-1,1)上的增函数∴-1<x<1-x<1

解得0<x<

1
2
(14分)

单项选择题
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