（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）

当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．

又f（1）=ln1=0，

所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）

（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

．

若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，

只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最小值．

设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．

当x∈[

1

e

，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；

当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．

由h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e，h(e)=2+e+

3

e

，h(

1

e

)-h(e)=2e-

2

e

-4＞0，

可得h(

1

e

)＞h(e)．

所以，当x∈[

1

e

，e]时，h（x）的最小值为h（1）=4

故a≤4（13分）