问题
解答题
已知数列{an}中，a1=
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值； （Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列； （Ⅲ）求数列{an}的通项公式． |
答案
（Ⅰ）由题意，2an+1-an=n，又a1=
，所以2a2-a1=1，解得a2=1 2
．（2分）3 4
同理a3=
，a4=11 8
，（3分）35 16
（Ⅱ）因为2an+1-an=n，
所以bn+1=an+2-an+1-1=
-an+1-1=an+1+n+1 2
，（5分）bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1，即n-an+1-1 2
=bn+1 bn
（7分）1 2
又b1=a2-a1-1=-
，所以数列{bn}是以-3 4
为首项，3 4
为公比的等比数列．（9分）1 2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=-
•(3 4
)n-1（10分）1 2
∴an+1-an-1=-
•(3 4
)n-1∴an+1-an=-1 2
•(3 4
)n-1+1（11分）1 2
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）（12分）
=
-1 2
[(3 4
)0+(1 2
)1+(1 2
)2++(1 2
)n-2]+n-11 2
=n-2+
（14分）3 2n