已知数列{an}是首项为a1=4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前项和，且4a1

问题解答题

已知数列{an}是首项为a₁=4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前项和，且4a₁，a₅，-2a₃成等差数列．

（1）求公比q的值；

（2）设A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求A_n．

答案

（1）∵4a₁，a₅，-2a₃成等差数列，

∴2a₅=4a₁+（-2a₃），

∵a₅=a₁q⁴，a₃=a₁q²，

∴2a₁q⁴=4a₁-2•a₁q²．

∵a₁≠0

q⁴+q²-2=0．

∴q²=1或q²=-2（舍去）

∵q≠1，

∴q=-1．

（2）∵Sn=

4[1-(-1)n]

1-(-1)

=2-2•(-1)n．

∴A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n=[2-2•（-1）¹]+[2-2•（-1）²]+[2-2•（-1）³]+…+[2-2•（-1）ⁿ]

=2n-2•[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]

=2n-2

-1•[1-(-1)n]

1-(-1)

=2n+1-（-1）ⁿ