问题
解答题
定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=
（1）求函数f（x）在（-1，1）的解析式； （2）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并证明． |
答案
（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
=-2-x 4-x+1 2x 4x+1
由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=
x∈(0，1)2x 4x+1 -
x∈(-1，0)2x 4x+1 0 x∈{-1，0，1}
（2）f（x）在（0，1）上单调递减．
证明当x∈（-1，0）时，f（x）=
，设-1＜x1＜x2＜0，2x 4x+1
则f（x1）-f（x2）=
-2x1 4x1+1
=2x2 4x2+1 (2x2-2x1)(2x1+x2-1) (4x1+1)(4x2+1)
∵-1＜x1＜x2＜0，，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，1）上单调递减．
