问题
解答题
已知a、b、m、n∈N+，{an}是首项为a，公差为b的等差数列；{bn}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1＜b1＜a2＜b2＜a3．
（1）求a的值；
（2）数列{1+am}与数列{bn}的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{cn}，求{cn}的前n项之和Sn．
答案
（1）∵am=a+（m-1）b，bn=b•an-1，
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
∴由a+b＜ab，a、b∈N+得a＞1+
．a b
∵0＜
＜1，∴a≥2．a b
又得b＞1+
，而b a
＞1，∴b≥3．b a
再由ab＜a+2b，b≥3，得a＜
=2(1+2b b-1
)≤3．1 b-1
∴2≤a＜3
∴a=2．
（2）设1+am=bn，即1+a+（m-1）b=b•an-1．
∴3+（m-1）b=b•2n-1，b=
∈N+．3 2n-1-(m-1)
∵b≥3，∴2n-1-（m-1）=1．∴2n-1=m．
∴cn=bn=3•2n-1．
故Sn=3（1+2++2n-1）=3（2n-1）．