问题
解答题
数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,(n=1,2,3…). (Ⅰ) 当a2=-1时,求实数λ及a3; (Ⅱ)当λ=5时,设bn=
(III)是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由. |
答案
(本小题8分)
(Ⅰ)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,∴λ=
,…(1分)3 2
故a3=-
a2+2 ,所以a3=3 2
.…(2分)11 2
(Ⅱ)当λ=5时,an+1=2an+2n,两边同除以2n+1,得:
=an+1 2n+1
+2an 2n
…(3分)1 2
所以,{
}是一个以1为首项,以an 2n
为公差的等差数列,所以:bn=1 2
=1+an 2n
(n-1)=1 2 n+1 2
所以{bn}的通项公式为bn=
. …(5分)n+1 2
(III)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16
若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0∵△=49-4×13<0∴方程没有实根,…(7分)
故不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.…(8分)