问题 解答题
数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,(n=1,2,3…).
(Ⅰ) 当a2=-1时,求实数λ及a3
(Ⅱ)当λ=5时,设bn=
an
2n
,求数列{bn}的通项公式
(III)是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由.
答案

(本小题8分)

(Ⅰ)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,∴λ=

3
2
,…(1分)

a3=-

3
2
a2+2 ,所以a3=
11
2
.…(2分)

(Ⅱ)当λ=5时,an+1=2an+2n,两边同除以2n+1,得:

an+1
2n+1
=
2an
2n
+
1
2
…(3分)

所以,{

an
2n
}是一个以1为首项,以
1
2
为公差的等差数列,所以:bn=
an
2n
=1+
1
2
(n-1)=
n+1
2

所以{bn}的通项公式为bn=

n+1
2
.                         …(5分)

(III)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16

若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0∵△=49-4×13<0∴方程没有实根,…(7分)

故不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.…(8分)

单项选择题
单项选择题