问题
解答题
已知函数f（x）=alnx+bx4-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c2恒成立，求c的取值范围．
答案
（1）由题意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，从而b=-3．
又f′(x)=
+4bx3．a x
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′(x)=
-12x3=12 x
（x＞0），12(1-x4) x
令f'（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=-3-c，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c2（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c2．
即2c2-c-3≤0，从而（2c-3）（c+1）≤0，
解得-1≤c≤
．3 2
所以c的取值范围为[-1，
]．3 2