问题
解答题
若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
（1）求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9； （2）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式； （3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，若S63＞2012，求a的取值范围． |
答案
（1）c8=41，c9=35（2分）
T9=
+(3+35)×5 2
=211．（4分）(17+41)×4 2
（2）∵an+an+1=2n①an+1+an+2=2（n+1）②
②-①得an+2-an=2．
所以，{an}为公差为2的准等差数列． （2分）
当n为奇数时，an=a+(
-1)×2=n+a-1； （2分）n+1 2
当n为偶数时，an=2-a+(
-1)×2=n-a，（2分）n 2
∴an=n+a-1，(n为奇数) n-a，(n为偶数)
（3）解一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，
所以，S63=32a+
×2+31(2-a)+32×31 2
×2=a+1984．（4分）31×30 2
∵S63＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28． （2分）
解二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…an-1+an=2×（n-1）
将上面各式相加，得Sn=
n2．1 2
∵S63=S62+a63=
×622+63+a-1=a+1984（4分）1 2
∵S63＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28． （2分）