定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的

问题解答题

定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为ϕ函数．

（Ⅰ）证明：函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．

（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的ϕ函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n）

答案

证明：（Ⅰ）∵f（x）=e^xlnx，

∴f′(x)=exlnx+

，

因为x＞0，

所以

＞0，

所以f'（x）＞f（x）

所以函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．…（6分）

（Ⅱ）构造函数g(x)=

f(x)

，g′(x)=

f′(x)-f(x)

＞0，

即g（x）在R上递增，…（8分）

所以g（ln（x₁+x₂+…x_n））＞g（lnx₁），g（lnx₁），g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₂），…，g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx_n）

得到

x1f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx1)

x2f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx2)

…

xnf(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnxn)

相加后，得到：f（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞f（lnx₁）+f（lnx₂）+…+f（lnx_n）．…（12分）