已知椭圆 x2m+y2n=1（常数m、n∈R+，且m＞n）的左右焦点分别为F1，

问题解答题

已知椭圆

=1（常数m、n∈R⁺，且m＞n）的左右焦点分别为F₁，F₂，M、N为短轴的两个端点，且四边形F₁MF₂N是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过原点且斜率分别为k和-k（k≥2）的两条直线与椭圆

=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值．．

答案

（Ⅰ）依题意：

m-n=n

，∴

m=4

n=2

，

所求椭圆方程为

=1．（3分）

（Ⅱ）设A（x，y）．

由

y=kx

得A(

1+2k2

，

1+2k2

)．（6分）

根据题设直线图象与椭圆的对称性，知（8分）

S=4×

1+2k2

16k

1+2k2

(k≥2)．（9分）

∴S=

+2k

(k≥2)．

设M(k)=2k+

，则M′(k)=2-

，当k≥2时，M′(k)=2-

＞0

∴M（k）在k∈[2，+∞）时单调递增，∴[M(k)]min=M(2)=

，（11分）

∴当k≥2时，Smax=

．（12分）