问题
解答题
| 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*） （1）求证：数列{an-2n}为等差数列； （2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+
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答案
（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=(1+
)(1+1 b2
)(1+1 b3
)…（1+1 b4
）×1 bn
，（n≥2）1 n+1
则f（n+1）=(1+
)(1+1 b2
)(1+1 b3
)…（1+1 b4
）×（1+1 bn
）×1 bn+1
，1 n+2
两式相除可得
=（1+f(n+1) f(n)
）×1 bn+1
=n+1 n+2
＞1，n+2 n+1
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=
，3 2
要使(1+
)(1+1 b2
)(1+1 b3
)…(1+1 b4
)＞k1 bn
对一切n∈N*且n≥2恒成立，n+1
必有k＜
；3 2
故k的取值范围是k＜
．3 2