（1）设椭圆的半焦距为c，

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

∴a=

3

，

c

a

=

6

3

∴c=

2

∵a²=b²+c²

∴b=1 （2分）

∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1  （4分）

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

x2 3 +y2=1 y=kx+1

消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0

则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0，

解得k≠0   （5分）

故x1+x2=

-6k

1+3k2

，x₁x₂=0     （8分）

∵以AB为直径的圆恰过原点O

∴

AO

•

OB

=0

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

1-3k2

1+3k2

=0（10分）．  

∴k=±

3

3

  

∴直线方程为y=±

3

3

x+1（12分）