问题
解答题
| 已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）． （1）求证：f(
（2）请写出一个满足上述条件的函数． |
答案
（1）证明：令x1=x2=1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴f(
)+f(x)=f(1)=0，1 x
∴f(
)=-f(x)1 x
令x1=-1，x2=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；
（2）根据根据（x1x2）=f（x1）+f（x2）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log2|x|．