问题
解答题
| 已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）设cn=bn+8n+3，数列{dn}满足d1=c1，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{dn}的前n项和Dn； （3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1，x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列{
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答案
（Ⅰ）依题意得an=-2n-2，故a1=-4．
又2Tn=6Sn+8n，即Tn=3Sn+4n，
∴当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=3（Sn-Sn-1）+4=3an+4=-6n-2．
又b1=T1=3S1+4=3a1+4=-8，也适合上式，
∴bn=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵cn=bn+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2dn+1，
因此dn+1+1=2（dn+1）（n∈N*）．
由于d1=c1=3，
∴{dn+1}是首项为d1+1=4，公比为2的等比数列．
故dn+1=4×2n-1=2n+1，
∴dn=2n+1-1．
Dn=（22+23++2n+1）-n=
-n=2n+2-n-4．4(2n-1) 2-1
（Ⅲ）g(
)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)dn+1 2
则
=g(
)dn+1 2 dn+1
=g(2n) 2n+1
=2n-1g(2)+2g(2n-1) 2n+1
+a 4
=g(2n-1) 2n
+a 4 g(
)dn-1+1 2 dn-1+1
∴
-g(
)dn+1 2 dn+1
=g(
)dn-1+1 2 dn-1+1 a 4
因为已知a为常数，则数列{
}是等差数列．g(
)dn+1 2 dn+1