已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列（1）若an=3

问题解答题

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列

（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；

（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；

（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明．

答案

（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，

整理后，可得k-2m=

，∵m、k∈N，

∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．

（2）当m=1时，则b₁•b₂=b_k，

∴a²•q³=aq^k∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整数

反之当a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则b_n=q^n+c，

显然b_m•b_m+1=q^m+c•q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c

∴a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数

（3）设b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k

当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，

当p为偶数时，（*）式不成立．

由（*）式得

3m+1(1-3p)

1-3

=2k+1，

整理得3^m+1（3^p-1）=4k+2

当p=1时，符合题意．

当p≥3，p为奇数时，3^p-1=（1+2）^p-1

=C_p⁰+C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p-1

=C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p

=2（C_p¹+C_p²•2++C_p^p•2^p-1）

=2[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]

∴由3^m+1（3^p-1）=4k+2，得3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1

∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．

∴当p为奇数时，命题都成立．