问题
解答题
椭圆
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,∠AOB=90°,求弦AB的长;并求△AOB的面积.(其中O为坐标原点) |
答案
(Ⅰ)由题设条件知
,c=2
=c a 2 2
∴a2=8,b2=4,
∴椭圆的方程为
+x2 8
=1.y2 4
(Ⅱ)设直线方程为y=x+b,联立方程组
,y=x+m
+x2 8
=1y2 4
整理,得3x2+4bx+2b2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
,x1x2=4b 3
,2b2-8 3
∵∠AOB=90°,∴OA2+OB2=AB2,
∴x1x2+y1y2=0,
∵y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2,
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
∴
-4b2-16 3
+b2=0,解得b=±4b2 3
.4 3 3
∴直线方程为y=x±
.4 3 3
x1+x2=±
,x1x2=16 3 9
,8 9
∴|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
=2(
-768 81
) 288 81
.8 15 9
∵O到直线y=x±
的距离为d=4 3 3
=|0-0±
|4 3 3 2
,2 6 3
∴△AOB的面积=
×1 2
×8 15 9
=2 6 3
.8 10 9