问题
解答题
椭圆
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点） |
答案
（Ⅰ）由题设条件知
，c=2
=c a 2 2
∴a2=8，b2=4，
∴椭圆的方程为
+x2 8
=1．y2 4
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组
，y=x+m
+x2 8
=1y2 4
整理，得3x2+4bx+2b2-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=4b 3
，2b2-8 3
∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2，
∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴
-4b2-16 3
+b2=0，解得b=±4b2 3
．4 3 3
∴直线方程为y=x±
．4 3 3
x1+x2=±
，x1x2=16 3 9
，8 9
∴|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
=2(
-768 81
) 288 81
．8 15 9
∵O到直线y=x±
的距离为d=4 3 3
=|0-0±
|4 3 3 2
，2 6 3
∴△AOB的面积=
×1 2
×8 15 9
=2 6 3
．8 10 9