设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（m+1）-man对于任意的正整数n都成

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：b1=

a1，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求证：数列{

}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

答案

（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；

S_n+1=（m+1）-ma_n+1，

相减，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，

即

an+1

m+1

，

所以{a_n}是等比数列

（2）当n=1时，a₁=m+1-ma₁，

则a₁=1，

从而b₁=

，

由（1）知q=f（m）=

m+1

，

所以b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

（n≥2）

∴

=1+

bn-1

，

∴数列{

}是首项为

，公差为1的等差数列

∴

=3+（n-1）=n+2，

故：bn=

n+2

（n≥1），

∴{b_nb_n+1=

(n+2)(n+3)

n+2

n+3

；

∴数列{b_nb_n+1}的前n项和A=（

）+（

）+…+（

n+2

n+3

）=

n+3

3n+9

．