设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）

（1）因为b_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，

所以Sk-1=

a1(1-qk-1)

1-q

=

a1(m-1-(m-1)q)

q

=(m-1)a1

（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，

所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）

现在只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=

qn-1-1

q-1

=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，则q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，当i≥3时，因为a₁=b₁，a₂=b₂，只要考虑n≥3的情况，因为b₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）与数列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2项相等，从而结论成立．

（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，则有

2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=

1

qx

+qy，令x=1，y=2，则q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因为q≠1，所以q²+q-1=0，所以q=

5 -1

2

(舍去负值)，即存在q=

5 -1

2

使得{b_n}中有三项b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差数列．