已知f（x）=log2x，若2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an

问题解答题

已知f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2(3

-x)≥2k+3(k∈N*)整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{b_n}，使得

lim

n→∞

[

g(1)g(2)

b1+

g(2)g(3)

b2+…

g(n)g(n+1)

bn]=

．

答案

（1）2n+4=2+（n+1）d，

∴d=2 f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）

即log₂a_n=2n+2，

∴a_n=2²ⁿ⁺²

（2）log2(-x2+3

22(k+1)

x)≥2k+3，

∴-x2+3

22(k+1)

x≥22k+3，

得，x²-3•2^k+1x+2^2（k+1）+1≤0，即x²-3•2^k+1x+2•（2^k+1）²≤0，

∴（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，

∴2^k+1≤x≤2•2^k+1

则g（k）=2^k+1+1

（3）

g(n)g(n+1)

(2n+1+1)(2n+2+1)

2n+1

(

2n+1+1

2n+2+1

)，

取b_n=2ⁿ⁺¹，

则

g(n)g(n+1)

bn=

(2n+1+1)(2n+2+1)

bn=

2n+1+1

2n+2+1

lim

n→∞

[

g(1)g(2)

b1+

g(2)g(3)

b2+…

g(n)g(n+1)

bn]=

lim

n→∞

(

2n+2+1

．

∴b_n=2ⁿ⁺¹