（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x²+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x²-ax+3b+1，

由于h（x）是定义域内的增函数，故h′(x)=

1

x

+4x-a≥0恒成立，

即a≤

1

x

+4x对∀x＞0恒成立，又

1

x

+4x≥4（x=2时取等号），故a∈（-∞，4]．

（2）由g（x）是奇函数，则g（x）+g（-x）=0对∀x＞0恒成立，从而a=c=0，

所以g(x)=-

2

3

x3-3bx，有g'（x）=-2x²-3b．

由g（x）极大值为g(

3

3

)，即g′(

3

3

)=0，从而b=-

2

9

；

因此g(x)=-

2

3

x3-

2

3

x，即g′(x)=-2x2+

2

3

=-2(x-

3

3

)(x+

3

3

)，

所以函数g（x）在(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)上是减函数，在(-

3

3

，

3

3

)上是增函数．

由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：

当-1＜m＜0时，最大值为g（-1）=0；

当0≤m＜

3

3

时，最大值为g(m)=-

2

3

m3+

2

3

m；

当m≥

3

3

时，最大值为g(

3

3

)=

4 3

27

．

（3）问题等价于证明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

对x＞0恒成立；

f'（x）=lnx+1，所以当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1

e

)上单调减；

当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）在(

1

e

，+∞)上单调增；

所以f（x）在（0，+∞）上最小值为-

1

e

（当且仅当x=

1

e

时取得）

设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，则m′(x)=

1-x

ex

，得m（x）最大值m(1)=-

1

e

（当且仅当x=1时取得），

又f（x）得最小值与m（x）的最大值不能同时取到，所以结论成立．