令f(x)=

x

+a=t，则g（x）=t²-a²，|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

at2+3t-a3

t

|．

（1）当a=1时，t≥1，故t-

1

t

+3=

(t-1)(t+1)

t

+3≥3，因此|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

t2+3t-1

t

|=|t-

1

t

+3|≥3，当且仅当t=1即x=0时取等号．

所以|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值是3；

（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式对于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．显然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．

令φ（t）=at²-2t-a³，因为△=4+4a⁴＞0，

结合该函数的图象可得

φ(1+a)＞0 1 a ＜1+a

或

φ(2+a)＞0 1 a ＞2+a

⇔（ I）

2a2-a-2＞0 a2+a-1＞0

或（ II）

2a2+a-2＞0 a2+2a-1＜0

．

结合a＞0可知不等式组（ I）的解为a＞

17 +1

4

，不等式组（ II）无解．所以a＞

17 +1

4

．