问题
解答题
在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
（1）求数列{an}的前n项和Sn； （2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明理由． |
答案
（1）∵a1=1，an+1=（1+
）an+1 n
，n+1 2n
∴an+1=（1+
）an+1 n
，n+1 2n
an+1=
an+n+1 n
×n+1 n
，1 2
n×an+1=（n+1）an+（n+1）×1 2
∴
-an+1 n+1
=an n
，1 2n
-an n
=an-1 n-1
，1 2n-1
…
-a2 2
=a1 1
．1 2
等式两边相加，得：
-an n
=a1 1
+1 2
+1 4
+…+1 8
=1 2n-1
=1-
(1-1 2
)1 2n-1 1- 1 2
，1 2n-1
∴an=2n-
．2n 2n
∵Sn=2（1+2+3+…+n）-（
+2×1 21
+…+2×2 22
）2n 2n
=n（n+1）-（
+2×1 21
+…+2×2 22
）．2n 2n
设S=
+2×1 21
+…+2×2 22
，①2n 2n
则
S=1 2
+2×1 22
+…+2×2 23
，②2n 2n+1
①-②，得
S=1+1 2
+2 22
+…+2 23
-2 2n 2n 2n+1
=1+
-
(1-1 2
)1 2n-1 1- 1 2 2n 2n+1
=2-
-1 2n-1
，2n 2n+1
∴S=4-
-4 2n
．2n 2n
∴Sn=n（n+1）-4+
．4+2n 2n
（2）假设在数列{an}中，存在连续三项ak-1，ak，ak+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，
则ak-1+ak+1=2ak，即[2（k-1）-
]+[2（k+1）-2(k-1) 2k-1
]=2（2k-2(k+1) 2k+1
），2k 2k
即
=0，∴k=3．3-k 2k
∴在数列{an}中，有且仅有连续三项a2，a3，a4成等差数列．