问题
解答题
已知椭圆C：M：
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． |
答案
（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：
，解得2a+2c=16
=c a 3 5
…（3分）a=5 c=3
又因为a2=b2+c2，所以b=a2-c2=4
所以椭圆的方程为
+x2 25
=1…（6分）y2 16
（Ⅱ）依题意|OP|=2
，直线OP的方程为y=x，…（7分）2
因为S△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2
，…（8分）2
所以点Q在与直线OP平行且距离为2
的直线l上，2
设l：y=x+m，则
=2|m| 2
，解得m=±4 …（10分）2
当m=4时，由
，y=x+4
+x2 25
＜1y2 16
消元得41x2+200x＜0，即-
＜x＜0 …（12分）200 41
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．…（13分）
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）