问题 选择题

若数列{an}的前n项和为Sn,则下列命题:

(1)若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列;

(2)数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数;

(3)若{an}是等差数列(公差d≠0),则S1•S2…Sk=0的充要条件是a1•a2…ak=0.

(4)若{an}是等比数列,则S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)的充要条件是an+an+1=0.

其中,正确命题的个数是(  )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

数列{an}的前n项和为Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an

若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如当an<0 时,数列{Sn}是递减数列,故(1)不正确.

由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,…,

满足{Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的各项均为正数,故(2)不正确.

若{an}是等差数列(公差d≠0),则由S1•S2…Sk=0不能推出a1•a2…ak=0,例如数列:-3,-1,1,3,

满足S4=0,但 a1•a2•a3•a4≠0,故(3)不正确.

若{an}是等比数列,则由S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)可得数列的{an}公比为-1,故有an+an+1=0.

由an+an+1=0可得数列的{an}公比为-1,可得S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N),故(4)正确.

故选B.

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