问题 解答题

已知函数f(x)=(x2-ax+1)ex,(a≥0)

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若对于任意x∈[0,1],f(x)≥1恒成立,求a取值范围.

答案

(1)f'(x)=[x2+(2-a)x+(1-a)]ex=(x+1)(x+1-a)ex

①当a=0时,f'(x)=(x+1)2ex,所以f'(x)=(x+1)2ex≥0对于任意x∈R成立,所以f(x)在x∈R单调增函数;

②当a>0时,由f'(x)=0解得x1=-1或x2=a-1,且x1<x2

知f(x)在(-∞,-1)和(a-1,+∞)上增函数;

知f(x)在(-1,a-1)上减函数.

(2)①当a=0时,f(x)在R上增函数,f(x)≥f(0)=1恒成立.

②当a>1时,f(x)在[0,a-1]上减函数,f(x)≤f(0)=1,不恒成立.

③当0<a≤1时,f(x)[0,1]上增函数,f(x)≥f(0)=1恒成立.

综上所述:0≤a≤1.

单项选择题
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