问题
解答题
已知函数f(x)=(x2-ax+1)ex,(a≥0)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[0,1],f(x)≥1恒成立,求a取值范围.
答案
(1)f'(x)=[x2+(2-a)x+(1-a)]ex=(x+1)(x+1-a)ex
①当a=0时,f'(x)=(x+1)2ex,所以f'(x)=(x+1)2ex≥0对于任意x∈R成立,所以f(x)在x∈R单调增函数;
②当a>0时,由f'(x)=0解得x1=-1或x2=a-1,且x1<x2,
知f(x)在(-∞,-1)和(a-1,+∞)上增函数;
知f(x)在(-1,a-1)上减函数.
(2)①当a=0时,f(x)在R上增函数,f(x)≥f(0)=1恒成立.
②当a>1时,f(x)在[0,a-1]上减函数,f(x)≤f(0)=1,不恒成立.
③当0<a≤1时,f(x)[0,1]上增函数,f(x)≥f(0)=1恒成立.
综上所述:0≤a≤1.