问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，∀n≥2，3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列．
（1）求Sn；
（2）对任意k∈N*，将数列{an}的项落入区间（3k，32k）内的个数记为bk，求bk．
答案
（1）∀n≥2，3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列，
所以，2×2an=（3Sn-4）+（2-Sn-1）…（1分）
因为an=Sn-Sn-1（n≥2），所以4（Sn-Sn-1）=（3Sn-4）+（2-Sn-1），
即Sn=3Sn-1-2…（3分）
又因为a1=2，Sn-1-1≠0，
| Sn-1 |
| Sn-1-1 |
| 3Sn-1-2-1 |
| Sn-1-1 |
所以数列{Sn-1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分）
Sn-1=1×3n-1，即Sn=1+3n-1…（7分）
（2）由（1）得∀n≥2，an=Sn-Sn-1=(1+3n-1)-(1+3n-2)=2×3n-2…（8分）
n=1时，2×3n-2=2×1=2=a1，所以，任意n∈N*，an=2×3n-2…（9分）
任意k∈N*，由3k＜an＜32k，即3k＜2×3n-2＜32k…（11分），
（k＜log32+（n-2）＜2k，k+2-log32＜n＜2k+2-log32…（12分）
因为0＜log32＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）
n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分），
所以bk=k…（14分）