在数列{an}中，a1=3，an+1=3an+3n+1．（1）设bn=an3n．

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）设bn=

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）a_n+1=3a_n+3ⁿ，

∴

an+1

3n+1

+1，于是b_n+1=b_n+1，

∴{b_n}为首项与公差均为1的等差数列．

又由题设条件求得b₁=1，故b_n=n，

由此得

∴a_n=n×3ⁿ．

（2）S_n=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，

3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，

两式相减，得2S_n=n×3ⁿ⁺¹-（3¹+3²+…+3ⁿ），

解出Sn=(

)3n+1+

．