问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1）（n=1，2，3，…）． （Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式； （Ⅱ）求
（Ⅲ）是否存在自然数n，使得S1+
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答案
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），（2分）
得an-an-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴数列{an}是以a1=1为首项，4为公差的等差数列．（4分）
∴an=4n-3．（5分）Sn=
(a1+an)n=2n2-n．（6分）1 2
（Ⅱ）
(lim n→∞
+1 a1a2
++1 a2a3
)=1 an-1an
(lim n→∞
+1 1×5
+1 5×9
++1 9×13
)1 (4n-7)(4n-3)
=lim n→∞
((1 4
-1 1
)+(1 5
-1 5
)+(1 9
-1 9
)++(1 13
-1 4n-7
))（8分）1 4n-3
=lim n→∞
(1-1 4
)=1 4n-3
．（10分）1 4
（Ⅲ）由Sn=2n2-n得：
=2n-1，（11分）Sn n
∴S1+
+S2 2
++S3 3
=1+3+5+7++(2n-1)=n2．（13分）Sn n
令n2=400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）