问题
解答题
已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）
（1）求b的值；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调增函数，求实数a的取值范围．
答案
（1）∵函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R）对任意x∈R，有f（-x）=f（x），
∴令x=
得：(-π 2
)2+bsin (-π 2
)-2=( π 2
)2+bsin(π 2
)- 2，解得：b=0，π 2
（2）由（1）得f（x）=x2-2，
∴有：g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx，
∵g（x）区间（0，1）上为单调增函数，
∴有g′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
又∵g′（x）=2x+2+a
，1 x
∴2x+2+a
≥0在（0，1）上恒成立，1 x
即：a≥-2x2-2x在（0，1）上恒成立，
令∅（x）=-2x2-2x，
则只须a大于等于∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上的最大值，
而∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上有∅（x）＜∅（0）=0，
∴a≥0．
故答案为：（1）b=0，（2）a≥0．