问题
解答题
在数列{an}中，a1=1，an+1=1-
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式an； （2）设cn=n•2n+1•an，求数列{cn}的前n项和． |
答案
（1）证明：∵bn-1-bn=
-2 2an+1-1 2 2an-1
=
-2 2(1-
)-11 4an
=2 2an-1
-4an 2an-1
=2(n∈N*)2 2an-1
∴数列{bn}是等差数列
∵a1=1，∴b1=
=22 2a1-1
∴bn=2+（n-1）×2=2n
由bn=
得，2an-1=2 2an-1
=2 bn
(n∈N*)1 n
∴an=n+1 2n
（2）由（1）的结论得an=
，∴cn=n•2n+1•an=(n+1)•2nn+1 2n
∴Sn=2•21+3•22+4•23++（n+1）•2n①
2Sn=2•22+3•23+4•24++n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②，得-Sn=2•21+22+23+…+2n-（n+1）•2n+12
=2+2n+1-2-（n+1）•2n+1=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1