问题
解答题
已知函数f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+
（Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式； （Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，都有|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|． |
答案
（Ⅰ）由题意知，f（x）+f（-x）=2，
即x3+bx2+（b2-1）x+1-x3+bx2-（b2-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g'（x）=3ax2+sinθ•x-2
由
⇒g′(2)≤0 g′(1)=0
，消去a可得sinθ≥1，12a-2sinθ-2≤0 3a+sinθ-2=0
从而sinθ=1，a=
，1 3
∴sinθ=1，g(x)=
x3+1 3
x2-2x．1 2
（Ⅲ）证明：φ(x)=f(x)-g(x)=
x3-2 3
x2+x+11 2
∴φ'（x）=2x2-x+1=2(x-
)2+1 4
．7 8
对任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，
|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|⇔|φ'（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ'（x）＞φ'（1）=2×
+9 16
=27 8
∴对任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，都有|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|．