公差大于零的等差数列{an}的前项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5

问题解答题

公差大于零的等差数列{a_n}的前项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

n+c

，且数列{b_n}是等差数列，求非零常数的值；
（3）在（2）的条件下，求f(n)=

(n+36)bn+1

(n∈N*)的最大值．

答案

（1）由题知a₃+a₄=a₂+a₅=22，a₃•a₄=117，

所以，a₃=9，a₄=13或a₃=13，a₄=9，

所以公差d=±4，又因为d＞0，

所以d=4，因此a_n=4n-3（4分）

（2）∵S_n=

n(1+4n-3)

=n（2n-1），

所以bn=

n+c

n(2n-1)

n+c

，

由{b_n}是等差数列得，2b₂=b₁+b₃，

∴

2+c

1+c

3+c

，整理得：2c²+c=0，

∴c=-

，（其中c=0舍去）（8分）

（3）由（2）知b_n=2n，

∴f（n）=

(n+36)(2n+2)

(n+36)(n+1)

+37

≤

12+37

．

当且仅当n=

，即n=6时取得等号．即f（n）_max=

．