在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a

问题解答题

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）是否存在k∈N^*，使得

+…+

＜k对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，

∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，

∴（a₃+a₅）²=25，

又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，

又a₃与a₅的等比中项为2，

∴a₃a₅=4．

而q∈（0，1），

∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，

∴q=

，a₁=16，∴a_n=16×（

）^n-1=2^5-n．

（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，

b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，

∴{b_n}是以b₁=4为首项，-1为公差的等差数列，

∴S_n=

n(9-n)

．

（3）由（2）知S_n=

n(9-n)

，∴

9-n

．

当n≤8时，

＞0；当n=9时，

=0；

当n＞9时，

＜0．

∴当n=8或9时，

=18最大．

故存在k∈N^*，使得

＜k对任意n∈N^*恒成立，k的最小值为19．