设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点，椭圆的长轴长

问题解答题

设A，B分别为椭圆

=1 (a＞b＞0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1，

)在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

答案

（Ⅰ）由题意：2a=4，所以a=2，所求椭圆方程为

=1；

又点(1，

)在椭圆上，∴

=1，∴b²=1；

故所求椭圆方程为：

+y2=1．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（-2，0），B（2，0），设P（4，t），M（x_M，y_M），

则直线PA的方程为：y=

(x+2)，（t≠0）；

由

(x+2)

x2+4y2=4

得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0；

因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，所以-2+xM=

-4t2

9+t2

，所以xM=

-2t2+18

9+t2

；

由yM=

(xM+2)，得yM=

9+t2

，所以M(

-2t2+18

9+t2

，

9+t2

)；

从而

=(-

4t2

9+t2

，

9+t2

)，

=(2，t)；所以

•

8t2

9+t2

6t2

9+t2

2t2

9+t2

＜0．

又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角；所以△MBP为钝角三角形．