问题
解答题
| 已知数列{an}，{bn}中，a1=b1=1，且当n≥2时，an-nan-1=0，bn=2bn-1-2n-1．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n! （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{
（3）若cn=
|
答案
（1）∵an-nan-1=0（n≥2），a1=1，
∴an=nan-1=n（n-1）an-2=n（n-1）（n-2）an-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a1=1=1!，∴an=n!
（2）证明：由bn=2bn-1-2n-1，两边同时除以2n得：
=bn 2n
-bn-1 2n-1
，即1 2
-bn 2n
=bn-1 2n-1
．1 2
∴数列{
}是以bn 2n
为首项，公差为-1 2
的等差数列，1 2
则
=bn 2n
+(n-1)(-1 2
)=1-1 2
，故bn=2n(1-n 2
)．n 2
（3）因为
=an an+2
=n! (n+2)!
=1 (n+1)(n+2)
-1 n+1
，1 n+2
bn-2n=2n(1-
)-2n=-n•2n-1．n 2
记An=
+a1 a3
+a2 a4
+…+a3 a5 an an+2
=(
-1 2
)+(1 3
-1 3
)+(1 4
-1 4
)+…+(1 5
-1 n+1
)1 n+2
=
-1 2
．1 n+2
记{bn-2n}的前n项和为Bn．
则Bn=-1•20-2•21-3•22-…-n•2n-1 ①
∴2Bn=-1•21-2•22-…-(n-1)•2n-1-n•2n ②
由②-①得：
Bn=20+21+22+…+2n-1-n•2n=
-n•2n=(1-n)•2n-1．1-2n 1-2
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=An+Bn=(1-n)•2n-
-1 2
．1 n+2
所以数列{cn}的前n项和为(1-n)•2n-
-1 2
．1 n+2