问题
解答题
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=
（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式； （2）是否存在k∈N*，使得Sk2=
（3）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有
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答案
（1）∵4Sn=
+2an+1，a 2n
∴当n≥2时，4Sn-1=
+2an-1+1．a 2n-1
两式相减得4an=
-a 2n
+2an-2an-1，a 2n-1
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1=
+2a1+1，∴a1=1a 21
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）由（1）知Sn=
=n2，(1+2n-1)n 2
假设正整数k满足条件，
则（k2）2=[2（k+2048）-1]2
∴k2=2（k+2048）-1，
解得k=65；
（3）证明：由Sn=n2得：Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2
于是
+1 Sm
-1 Sp
=2 Sk
+1 m2
-1 p2
=2 k2 k2(p2+m2)-2m2p2 m2p2k2
∵m、k、p∈N*，m+p=2k，
∴k2(p2+m2)-2m2p2 m2p2k2
=
≥(
)2(p2+m2)-2m2p2m+p 2 m2p2k2
=0．mp×2pm-2m2p2 m2p2k2
∴
+1 Sm
≥1 Sp
．2 Sk