问题
解答题
| 已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求Sn； （Ⅱ）设cn=an+8n+3，数列{dn}满足d1=c1，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{dn}的通项公式； （Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1、x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记bn=
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答案
（Ⅰ）由已知an=-6n-2，故{an}是以a1=-8为首项公差为-6的等差数列．
所以Sn=-3n2-5n．
（Ⅱ）因为cn=an+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2dn+1，因此dn+1+1=2（dn+1）（n∈N*）．
由于d1=c1=3，
所以{dn+1}是首项为d1+1=4，公比为2的等比数列．
故dn+1=4×2n-1=2n+1，所以dn=2n+1-1．
（Ⅲ）解法一：g(
)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)，dn+1 2
则bn=
=2n-1g(2)+2g(2n-1) 2n+1
+a 4
，bn+1=g(2n-1) 2n
+a 4
.bn+1-bn=g(2n) 2n+1
-g(2n) 2n+1
=g(2n-1) 2n
-2n-1a+2g(2n-1) 2n+1
=g(2n-1) 2n
．a 4
因为a为常数，则数列{bn}是等差数列．
解法二：因为g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a，
故g(
)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)=2n-1g（2）+2[2n-2g（2）+2g（2n-2）]=2×2n-1g（2）+22g（2n-2）=2×2n-1g（2）+22[2n-3g（2）+2g（2n-3）]=3×2n-1g（2）+23g（2n-3）═（n-1）×2n-1g（2）+2n-1g（2）=n•2n-1g（2）=an•2n-1，dn+1 2
所以bn=
=g(
)dn+1 2 dn+1
=an•2n-1 2n+1
n．a 4
则bn+1-bn=
．a 4
由已知a为常数，因此，数列{bn}是等差数列．