问题
解答题
已知直线l：y=x+1与曲线C：
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆； （Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且a∈[
|
答案
（Ⅰ）证明：设直线L与曲线C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）
∵|OA|=|OB|
∴
=x12+y12
即：x12+y12=x22+y22x22+y22
∴x12-x22=y22-y12
∵A，B在C上
∴
+x1 2 a2
=1，y1 2 b2
+x2 2 a2
=1y2 2 b2
∴两式相减得：x1 2-x2 2=
(y2 2-y1 2)a2 b2
∴
=1即：a2=b2a2 b2
∴曲线C是一个圆
（Ⅱ）设直线L与曲线C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
∵a＞b＞o
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆
∵OA⊥OB
∴
•y1 x1
=-1即：y1y2=-x1x2y2 x2
将y=x+1代入b2x2+a2y2-a2b2=0整理得：
（b2+a2）x2+2a2+a2-a2b2=0
∴x1+x2=-
x1x2=2a2 b2+a2
，a2(1-b2 ) b2+a2
∵A，B在L上∴y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1•x2+x2+x1+1
又∵y1y2=-x1x2
∴2x1x2+x2+x1+1=0
∴2•
+(-(1-b2)a2 b2+a2
)+1=02a2 b2+a2
∴b2+a2-2b2a2=0
∴a2+a2-c2-2a2（a2-c2）=0
∴2a4-2a2+c2-2c2a2=0
∴c2 =2a2(a2-1) 2a2-1
∴e2=
=c2 a2
=1-2(a2-1) 2a2-1 1 2a2-1
∵a∈[
，6 2
]10 2
∴2a2-1∈[2，4]
∴1-
∈[1 2a2-1
，1 2
]e∈[3 4
，2 2
]3 2