问题 解答题
设点M(m,0)在椭圆
x2
16
+
y2
12
=1
的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当
MP
的模最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
答案

设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为

x2
16
+
y2
12
=1,故-4≤x≤4.

因为

MP
=(x-m,y),所以|
MP
|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-
x2
16
)

推出|

MP
|2=
1
4
x2-2mx+m2+12=
1
4
(x-4m)2+12-3m2

依题意可知,当x=4时,|

MP
|2取得最小值.而x∈[-4,4],

故有4m≥4,解得m≥1.

又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4].

单项选择题
多项选择题