（1）双曲线的离心率为

2

，则椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

2

（2分）圆x²+y²=4的直径为4，则2a=4，

得：

2a=4 c a = 2 2 b2=a2-c2

⇒

a=2 c= 2 b= 2

所求椭圆M的方程为

y2

4

+

x2

2

=1．（6分）

（2）直线AB的直线方程：y=

2

x+m．

由

y=  2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，

由△=(2

2

m)2-16(m2-4) ＞0，得-2

2

＜m＜2

2

∵x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．

∴|AB|=

1+2

|x1-x2|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•

1 2 m2-m2+4

=

3

4- m2 2

（9分）

又P到AB的距离为d=

|m|

3

．

则S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

3

4- m2 2

|m|

3

=

1

2

m2(4- m2 2 )

=

1

2 2

m2(8-m2)

≤

1

2 2

•

m2+(8-m2)

2

=

2

当且仅当m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等号

∴(S△ABC)max=

2

．　　　　（12分）