问题
解答题
| 已知S（x）=a1x+a2x2+…+anxn，且a1，a2，…，an组成等差数列，n为正偶数，设S（1）=n2，S（-1）=n． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明S(
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答案
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意知na1+
d=n2n(n-1) 2 a2-a1+a4-a3+…+an-an-1=n.
∴a1+
d=n.n-1 2
n=n.d 2
∴a1=d，d=2．an=2n-1．（6分）
证明：（Ⅱ）由S(
)=1×1 2
+3×(1 2
)2+…+(2n-1)×(1 2
)n，①1 2
则
S(1 2
)=1×(1 2
)2+…+(2n-3)×(1 2
)n+(2n-1)×(1 2
)n+1②1 2
①-②得，
S(1 2
)=1 2
+2[(1 2
)2+…+(1 2
)n]-(2n-1)•(1 2
)n+11 2
=
+1 2
-(2n-1)•(2×
[1-(1 4
)n-1]1 2 1- 1 2
)n+11 2
=
-(3 2
)n-1-(2n-1)•(1 2
)n+1＜1 2
（n是正偶数），3 2
∴S(
)＜3.（13分）1 2