若数列{an}满足对任意的n有：Sn=n(a1+an)2，试问该数列是怎样的数列

问题解答题

若数列{a_n}满足对任意的n有：S_n=

n(a1+an)

，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．

答案

a_n+1=S_n+1-S_n①

a_n=S_n-S_n-1（n≥2）②

①-②得

a_n+1-a_n=S_n+1+S_n-1-2S_n

(n+1)(a1+an+1)

(n-1)(a1+an-1)

-n（a₁+a_n）

[（n+1）a_n+1+（n-1）a_n-1-2na_n]

可得2（a_n+1-a_n）=（n+1）a_n+1+（n-1）a_n-1-2na_n（n≥2）

整理可得2（n-1）a_n=（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1（n≥2）

即2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2）

根据等差数列的特性可知：此数列为等差数列