已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1

问题解答题

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．

（I）当m=2时，求f（x）的解析式；

（II）设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k，且对于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．

答案

（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．

当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．

当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0)

2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．

当m=2时，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0)

2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0)

6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率，对任意的x₀∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，

则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，

∵f'（x）是偶函数

∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立

1⁰当-

≤0时，由题意得

f′(0)≥-1

f′(1)≤9

∴0≤m≤2

2⁰当0＜-

≤1时

∴

f′(-

) ≥-1

f′(0)≤9

∴-6≤m＜0

3⁰当-

＞1时∴

f′(0)≤9

f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6

综上：-8≤m≤2

∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．