问题
解答题
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率为k，且对于任意的x0∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．
答案
（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x3+mx2-（1-m）x）=2x3-mx2+（1-m）x∴f(x)=
．2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) 2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)
当m=2时，∴f(x)=2x3+2x2-x，(x≥0) 2x3-2x2-x(x＜0)
（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)
曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率，对任意的x0∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x0∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x0∈（0，1]时，-1≤f'（x0）≤9恒成立
10当-
≤0时，由题意得m 6 f′(0)≥-1 f′(1)≤9
∴0≤m≤2
20当0＜-
≤1时m 6
∴f′(-
) ≥-1m 6 f′(0)≤9 f′(0)≤9
∴-6≤m＜0
30当-
＞1时∴m 6 f′(0)≤9 f′(1)≥-1
∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．