问题 解答题
已知椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)
的左右焦点为F1,F2,抛物线C:y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),直线F1M与抛物线C相切.
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M、N的坐标;
(Ⅱ)若M、N两点恒在该椭圆内部,求椭圆离心率的取值范围.
答案

(Ⅰ)由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)
=1(1分)

所以椭圆焦点为F1(-1,0)F2(1,0)(2分)

又抛物线C的焦点为(

p
2
,0)∴
p
2
=1,p=2
,∴C:y2=4x(3分)

∵M(x1,y1)在抛物线C上,

∴y12=4x1,直线F1M的方程为y=

y1
x1+1
(x+1)(4分)

代入抛物线C得y12(x+1)2=4x(x1+1)2,即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2∴x1x2-(x12+1)x+x1=0,(5分)

∵F1M与抛物线C相切,∴△=(x12+1)2-4x12=0,(6分)∴x1=1,∴M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2).(7分)

(Ⅱ)∵M、N两点在椭圆内部,∴|F1M|+|F2M|<2a(9分)

22+22
+2<2a,∴a>
2
+1
,(11分)

1
a
1
2
+1
=
2
-1,(12分)

∵c=1,∴离心率e=

1
a
2
-1
,(13分)

又e>0,∴椭圆离心率的取值范围为(0,

2
-1)(14分)

单项选择题
问答题