问题
解答题
已知椭圆
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M、N的坐标; (Ⅱ)若M、N两点恒在该椭圆内部,求椭圆离心率的取值范围. |
答案
(Ⅰ)由椭圆方程得半焦距c=
=1(1分)a2-(a2-1)
所以椭圆焦点为F1(-1,0)F2(1,0)(2分)
又抛物线C的焦点为(
,0)∴p 2
=1,p=2,∴C:y2=4x(3分)p 2
∵M(x1,y1)在抛物线C上,
∴y12=4x1,直线F1M的方程为y=
(x+1)(4分)y1 x1+1
代入抛物线C得y12(x+1)2=4x(x1+1)2,即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2∴x1x2-(x12+1)x+x1=0,(5分)
∵F1M与抛物线C相切,∴△=(x12+1)2-4x12=0,(6分)∴x1=1,∴M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2).(7分)
(Ⅱ)∵M、N两点在椭圆内部,∴|F1M|+|F2M|<2a(9分)
即
+2<2a,∴a>22+22
+1,(11分)2
∴
<1 a
=1
+12
-1,(12分)2
∵c=1,∴离心率e=
<1 a
-1,(13分)2
又e>0,∴椭圆离心率的取值范围为(0,
-1)(14分)2